Floating Point Arithmetic

5.1. Bentuk Bilangan Floating Point
Bilangan Floating Point memiliki bentuk umum : + m * b e , dimana m
(disebut juga dengan mantissa), mewakili bilangan pecahan dan umumnya dikonversi
ke bilangan binernya, e mewakili bilangan exponentnya,
sedangkan b mewakili radix
(basis) dari exponent.
Gambar 5.1.
Contoh :
Pada gambar diatas, menunjukkan tentang panjang bit pada bilangan floating point m
= 23 bit, e = 8 bit, dan S (bit sign) = 1. Jika nilai yang tersimpan di S adalah 0, maka
bilangan tersebut adalah positif dan jika nilai yang tersimpan pada S adalah 1, maka
bilangan tersebut adalah negatif.
Bilangan exponent pada contoh diatas, hanya dapat digunakan pada bilangan positif 0
hingga 255. Untuk dapat menggunakan bilangan exponent negatif dan positif, nilai
bulat yang disebut dengan bias, dikurangkan dengan bilangan pada kolom exponent
dan menghasilkan bilangan exponent akhir. Misalkan pada contoh diatas
menggunakan bias = 128, maka bilangan exponent akhirnya memiliki range antara 128
(disimpan sebagai 0 pada kolom exponent) hingga +127 (disimpan sebagai 255
pada kolom exponent). Berdasarkan bentuk seperti ini, bilangan exponent +4 dapat
digunakan dengan menyimpan 132 pada kolom exponent, sedangkan bilangan
exponent 12
dapat digunakan dengan menyimpan 116 pada kolom exponent.
Anggap b = 2, maka bilangan floating point seperti 1,75 dapat menggunakan salah
satu dari bentuk umum seperti pada gambar berikut:
Modul 5
D3 TKJ (Teknik Komputer dan Jaringan)
Departemen Pendidikan Nasional
2
Gambar 5.2.
5.2. Macammacam
bentuk bilangan floating point
Untuk mempermudah operasi bilangan floating point dan menambah tingkat
presisinya, maka bilangan tersebut dibuat dalam bentuk ternormalisasi (normalized
forms). Suatu bilangan floating point telah ternormalisasi jika most significant bit
(MSB) dari mantissanya adalah 1. Karena itu, diantara ketiga bentuk diatas dari
bilangan 1,75, maka bentuk yang telah ternormalisasi adalah bentuk yang paling atas,
dan disarankan untuk digunakan.
Karena nilai MSB dari bilangan Floating Point yang telah ternormalisasi
selalu 1, maka bit ini tidak disimpan, sehingga nilai mantissa yang tersimpan adalah
1.m. Sehingga untuk bilangan floating point bukan nol yang ternormalisasi memiliki
bentuk (1)
S * (1.m) * 2 e128
5.3. Aritmetika Floating Point Penjumlahan / Pengurangan
Hal yang sulit dari penjumlahan dua bilangan exponent adalah jika bilanganbilangan
tersebut memiliki bentuk exponensial yang berbeda. Unutk memecahkannya,
maka sebelum ditambahkan bilangan exponensialnya harus disetarakan terlebih
dahulu, atau bilangan dengan nilai exponent lebih kecil disamakan dulu ke bilangan
exponent yang sama dengan bilangan lain.
Langkahlangkah
yang dilakukan untuk menambah/mengurangkan dua
bilangan floating point
1. Bandingkan kedua bilangan, dan ubah ke bentuk yang sesuai pada bilangan
dengan nilai exponensial lebih kecil
2. Lakukan operasi penjumlahan / pengurangan
Modul 5
D3 TKJ (Teknik Komputer dan Jaringan)
Departemen Pendidikan Nasional
3
3. Lakukan normalisasi dengan ’menggeser’ nilai mantissa dan mengatur nilai
exponensialnya
Contoh : Jumlahkan dua bilangan floating point 1,1100 * 2 4 dan 1,1000 * 2 2
1. Sesuaikan : 1,1000 * 2 2 diubah menjadi 0,0110 * 2 4
2. Jumlahkan : hasil penjumlahan 10,0010 * 2 4
3. Normalisasi : hasil setelah dinormalisasi adalah 0,1000 * 2 6 ( dianggap bit
yang diijinkan setelah koma adalah 4)
Operasi penjumlahan/pengurangan dua bilangan floating point diilustrasikan
dengan skema seperti pada gambar berikut :
Gambar 5.3. Skema penjumlahan/pengurangan bilangan floating point
5.4. Perkalian
Perkalian dari dua bilangan floating point dengan bentuk X = mx * 2 a dan Y
= mx * 2 b setara dengan X * Y = (mx * my) * 2 a+b
Algoritma umum untuk perkalian dari bilangan floating point terdiri dari tiga langkah
:
1. Hitung hasil exponensial dengan menjumlahkan nilai exponent dari kedua
bilangan
2. Kalikan kedua bilangan mantissa
3. Normalisasi hasil akhir
Modul 5
D3 TKJ (Teknik Komputer dan Jaringan)
Departemen Pendidikan Nasional
4
Contoh : Perkalian antara dua bilangan floating point X = 1,000 * 2 2
dan Y = 1,010
*
2 1
1. Tambahkan bilangan exponennya : 2
+ (1)
= 3
2. Kalikan mantissa: 1,0000 * 1,010
= 1,010000
Hasil perkaliannya adalah 1,0100
* 2 3
Perkalian dari dua bilangan floating point diilustrasikan menggunakan skema seperti
tampak pada gambar berikut :
Gambar 5.4. Skema perkalian bilangan floating point
5.5. Pembagian
Pembagian dari dua bilangan floating point dengan bentuk X = mx * 2 a dan
Y = mx * 2 b setara dengan X / Y = (mx / my) * 2 ab
Algoritma umum untuk pembagian dari bilangan floating point terdiri dari tiga
langkah :
1. Hitung hasil exponensial dengan mengurangkan nilai exponent dari kedua
bilangan
2. Bagi kedua bilangan mantissa
3. Normalisasi hasil akhir
Contoh : Pembagian antara dua bilangan floating point X = 1,0000 * 2 2
dan
Y = 1,0100
* 2 1
1. Kurangkan bilangan exponennya : 2
– (1)
= 1
2. Bagi mantissa: 1,0000 / 1,0100
= 0,1101
Modul 5
D3 TKJ (Teknik Komputer dan Jaringan)
Departemen Pendidikan Nasional
5
Hasil pembagiannya adalah 0,1101
* 2 1
Pembagian dari dua bilangan floating point diilustrasikan menggunakan skema seperti
tampak pada gambar berikut :
Gambar 5.5. Skema pembagian bilangan floating point
5.6. Floating Point standard IEEE
IEEE membuat dua bentuk bilangan floating point standard. Bentuk basic
dan bentuk extended. Pada tiap bentuk tersebut, IEEE menentukan dua format, yaitu
singleprecision
dan double precision format. Single precision format adalah model
32bit sedangkan double precision format adalah 64bit. Pada single extended format
setidaknya menggunakan 44 bit, sedangkan pada double extended format setidaknya
menggunakan 80 bit.
Pada single precision format, mengijinkan penggunaan bit tersembunyi,
kolom exponentnya adalah 8bit. Bentuk single precision ditunjukkan pada gambar
berikut.
Gambar 5.6.
IEEE single precision Format
Jika jumlah bit bilangan exponent adalah 8, maka nilainya memiliki 256
kombinasi, diantara angkaangka
tersebut, dua kombinasi digunakan sebagai nilai
khusus:
1. e = 0 bernilai nol (jika m = 0) dan nilai terdenormalisasi (jika m ≠ 0)
Modul 5
D3 TKJ (Teknik Komputer dan Jaringan)
Departemen Pendidikan Nasional
6
2. e = 255 bernilai + ∞ (jika m = 0) dan nilai tak terdefinisi (jika m ≠ 0)
m = 0 m ≠ 0
e = 0 0 Terdenormalisasi
e = 255 + ∞ Tidak Terdefinisi
Tabel 5.1.
IEEE Double Precision Format
Bentuk ini memiliki kolom exponent 11 bit dan kolom nilai mantissa sebesar
52 bit. Bentuknya seperti tampak pada gambar.
Gambar 5.7. IEEE double precision format
Karakteristik SinglePrecision
Double Precision
Panjang dalam bits 32 64
Bagian pecahan dalam bits 23 52
Bit tersembunyi 1 1
Panjang Exponent dlm bits 8 11
Bias 127 1023
Range 2 128 ≈ 3,8 x 10 38 2 1024 ≈ 9,0 x 10 307
Nilai ternormalisasi terkecil 2 126
≈ 10 38
2 1022
≈ 10 308
Tabel 5.2. Karakteristik dari IEEE single dan double floating point format